二次函数教案优秀9篇

次函数教案 篇一

I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c

（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)

顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a（x-x?）（x-x?）[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

《二次函数》教案 篇二

【知识与技能】

1、理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式。

2、能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。

【过程与方法】

经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。

【情感态度】

体会数学与实际生活的密切联系，学会与他人合作交流，培养合作意识。

【教学重点】

二次函数的概念。

【教学难点】

在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程。

一、情境导入，初步认识

1、教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S（2）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(）的关系式是S=-2x2+100x,(0

2、对于实际问题中的二次函数，自变量的取值范围是否会有一些限制呢？有。

二、思考探究，获取新知

二次函数的概念及一般形式

在上述学生回答后，教师给出二次函数的定义:一般地，形如=ax2+bx+c(a,

b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时，要连同符号一起指出。

《二次函数》教案 篇三

课题二次函数y=ax2的图象（一）

一、教学目的

1．使学生初步理解二次函数的概念。

2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。

二、教学重点、难点

重点：对二次函数概念的初步理解。

难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

三、教学过程

复习提问

1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。

2．什么是一无二次方程？

3．怎样用找点法画函数的图象？

新课

1．由具体问题引出二次函数的定义。

（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。

（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。

（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

解：（1）函数解析式是S=πR2；

（2）函数析式是S=30L—L2；

（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即

y=50x2+100x+50。

由以上三例启发学生归纳出：

（1）函数解析式均为整式；

（2）处变量的最高次数是2。

我们说三个式子都表示的是二次函数。

一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。

2．画二次函数y=x2的图象。

按照描点法分三步画图：

（1）列表 ∵ x可取任意实数，∴ 以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；

（2）描点 按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；

（3）边线 用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。

注意两点：

（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x<-3的区间是无限延伸的。

（2）所画的图象是近似的。

3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？——我们 –1与1之间每隔0。2的间距取x值表和图13-14。按课本P118内容讲解。

4．引入抛物线的概念。

关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。

小结

1．二次函数的定义。

（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。

2．二次函数y=x2的图象。

（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

补充例题

下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？

（1）y=2-3x2； （2）y=x (x-4)；

（3）y=1/2x2-3x-1； （4）y=1/4x2+3x-8；

（5）y=7x（1-x）+4x2； （6）y=（x-6）（6+x）。

作业：P122中A组1，2，3。

四、教学注意问题

1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。

2．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：

（1）y=x2的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）

（2）如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。）

课题二次函数y=ax2的图象（一）

一、教学目的

1．使学生初步理解二次函数的概念。

2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。

二、教学重点、难点

重点：对二次函数概念的初步理解。

难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。

三、教学过程

复习提问

1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？

（1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。

2．什么是一无二次方程？

3．怎样用找点法画函数的图象？

新课

1．由具体问题引出二次函数的定义。

（1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。

（2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。

（3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

解：（1）函数解析式是S=πR2；

（2）函数析式是S=30L—L2；

（3）函数解析式是y=50（1+x）2，即

y=50x2+100x+50。

由以上三例启发学生归纳出：

（1）函数解析式均为整式；

（2）处变量的最高次数是2。

我们说三个式子都表示的是二次函数。

一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。

2．画二次函数y=x2的图象。

按照描点法分三步画图：

（1）列表 ∵ x可取任意实数，∴ 以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同；

（2）描点 按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；

（3）边线 用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。

注意两点：

（1）由于我们只描出了7个点，但自矿业量取值范围是实数，故我们只画出了实际图象的一部分，即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。而图象在x>3或x<-3的区间是无限延伸的。

（2）所画的图象是近似的。

3．在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何？——我们 –1与1之间每隔0。2的间距取x值表和图13-14。按课本P118内容讲解。

4．引入抛物线的概念。

关于抛物线的顶点应从两方面分析：一是从图象上看，y=x2的图象的顶点是最低点；一是从解析式y=x2看，当x=0时，y=x2取得最小值0，故抛物线y=x2的顶点是（0，0）。

小结

1．二次函数的定义。

（1）函数解析式关于自变量是整式；（2）函数自变量的最高次数是2。

2．二次函数y=x2的图象。

（1）其图象叫抛物线；（2）抛物线y=x2的对称轴是y轴，开口向上，顶点是原点。

补充例题

下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a，b，c？

（1）y=2-3x2； （2）y=x (x-4)；

（3）y=1/2x2-3x-1； （4）y=1/4x2+3x-8；

（5）y=7x（1-x）+4x2； （6）y=（x-6）（6+x）。

作业：P122中A组1，2，3。

四、教学注意问题

1．注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。

2．注意培养学生观察分析问题的能力。比如，结合所画二次函数y=x2的图象，要求学生思考：

（1）y=x2的图象的图象有什么特点。（答：具有对称性。）

（2）如何判断y=x2的图象有上面所说的特点？（答：由观察图象看出来；或由列表求值得出来；或由解析式y=x2看出来。）

次函数教案 篇四

本节课在二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的基础上，进一步研究y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质。旨在全面掌握所有二次函数的图象和性质的变化情况。同时对二次函数的研究，经历了从简单到复杂，从特殊到一般的过程：先是从y=x2开始，然后是y=ax2，y=ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c.符合学生的认知特点，体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性。

在教学中，主要是让学生自己动手画图象，通过自己的观察、交流、对比、概括和反思[

等探索活动，使学生达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解。并能利用它的性质解决问题。

2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象(一)

教学目标

（一）教学知识点[

1、能够作出函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系。理解a，h，k对二次函数图象的影响。

2、能够正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

（二）能力训练要求

1、通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解。

2、经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。

（三）情感与价值观要求

1、经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

2、让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

教学重点

1、经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程。

2、能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响。

3、能够正确说出y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

教学难点

能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a、h、k对二次函数图象的影响。

教学方法

探索比较总结法。

教具准备

投影片四张

第一张：（记作2.4.1 A）

第二张：（记作2.4.1 B）

第三张：（记作2.4.1 C）

第四张：（记作2.4.1 D）

教学过程

Ⅰ。创设问题情境、引入新课

[师]我们已学习过两种类型的二次函数，即y=ax2与y=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴都是y轴，有最大值或最小值。顶点都是原点。还知道y=ax2+c的图象是函数y=ax2的图象经过上下移动得到的，那么y=ax2的图象能否左右移动呢？它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢？本节课我们就来研究有关问题。

Ⅱ。新课讲解

一、比较函数y=3x2与y=3(X-1)2的图象的性质。

投影片：(2.4 A)

（1）完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值，

它们之间有什么关系？

X -3 -2 -1 0 1 2 3 4

3x2

3(x-1)2

（2）在下图中作出二次函数y=3(x-1)2的图象。你是怎样作的？

（3）函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？

(4)x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而减小？

[师]请大家先自己填表，画图象，思考每一个问题，然后互相讨论，总结。

[生](1)第二行从左到右依次填：27.12，3，0，3， 12，27，48;第三行从左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27.

（2）用描点法作出y=3(x-1)2的图象，如上图。

（3)二次函数）y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y=3(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，0)。

（4）当x1时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大，x1时，y=3(x-1)2的值随x值的增大而减小。

[师]能否用移动的观点说明函数y=3x2与y=3(x-1)2的图象之间的关系呢？

[生]y=3（x-1)2的图象可以看成是函数）y=3x2的图象整体向右平移得到的。

[师]能像上节课那样比较它们图象的性质吗？

[生]相同点：

a.图象都中抛物线，且形状相同，开口方向相同。

b. 都是轴对称图形。

c.都有最小值，最小值都为0.

d.在对称轴左侧，y都随x的增大而减小。在对称轴右侧，y都随x的增大而增大。

不同点：

a.对称轴不同，y=3x2的对称轴是y轴y=3(x-1)2的对称轴是x=1.

b. 它们的位置不问。[来源]

c. 它们的顶点坐标不同。 y=3x2的顶点坐标为(0，0)，y=3(x-1)2的顶点坐标为(1，0)，

联系：

把函数y=3x2的图象向右移动一个单位，则得到函数y=3(x-1)2的图像。

二、做一做

投影片：(2.4.1 B)

在同一直角坐标系中作出函数y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象。并比较它们图象的性质。

[生]图象如下

它们的图象的性质比较如下：

相同点：

a.图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同。

b. 都足轴对称图形，对称轴都为x=1.

c. 在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大。

不同点：

a.它们的顶点不同，最值也不同。y=3(x-1)2的顶点坐标为(1.0)，最小值为0.y=3(x-1)2+2的顶点坐标为(1，2)，最小值为2.

b. 它们的位置不同。

联系：

把函数y=3(x-1)2的图象向上平移2个单位，就得到了函数y=3(x-1)2+2的图象。

三、总结函数y=3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象之间的关系。

[师]通过上画的讨论，大家能够总结出这三种函数图象之间的关系吗？

[生]可以。

二次函数y=3x2，y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象都是抛物线。并且形状相同，开口方向相同，只是位置不同，顶点不同，对称轴不同，将函数y=3x2的图象向右平移1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象；再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象。

[师]大家还记得y=3x2与y=3x2-1的图象之间的关系吗？

[生]记得，把函数y=3x2向下平移1个平位，就得到函数y=3x2-1的图象。

[师]你能系统总结一下吗？

[生]将函数y=3x2的图象向下移动1个单位，就得到了函数y=3x2-1的图象，向上移动1个单位，就得到函数y=3x2+1的图象；将y=3x2的图象向右平移动1个单位，就得到函数y=3(x-1)2的图象：向左移动1个单位，就得到函数y=3(x+1)2的图象；由函数y=3x2向右平移1个单位、再向上平移2个单位，就得到函数y=3(x-1)2+2的图象。

[师]下面我们就一般形式来进行总结。

投影片：(2.4.1 C)

一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象。

（1）将y=ax2的图象上下移动便可得到函数y=ax2+c的图象，当c0时，向上移动，当c0时，向下移动。

（2）将函数y=ax2的图象左右移动便可得到函数y=a(x-h)2的图象，当h0时，向右移动，当h0时，向左移动。

（3）将函数y=ax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数y=a(x-h)+k的图象。

因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关。

下面大家经过讨论之后，填写下表：

y=a(x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标

a0

a0

四、议一议

投影片：(2，4.1 D)

（1）二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？

（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？

（3）对于二次函数y=3(x+1)2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？二次函数y=3(x+1)2+4呢？

[师]在不画图象的情况下，你能回答上面的问题吗？

[生](1)二次函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向也相同，但对称轴和顶点坐标不同，y=3(x+1)2的图象的对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1，0)。只要将y=3x2的图象向左平移1个单位，就可以得到y=3(x+1)2的图象。

（2）二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与y=-3x2的图象形状相同，只是位置不同，将函数y=-3x2的图象向右平移2个单位，就得到y=-3(x-2)2的图象，再向上平移4个单位，就得到y=-3(x-2)2+4的图象y=-3(x-2)2+4的图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2，4)。

（3）对于二次函数y=3(x+1)2和y=3(x+1)2+4，它们的对称轴都是x=-1，当x-1时，y的值随x值的增大而减小；当x-1时，y的值随x值的增大而增大。

Ⅲ。课堂练习

随堂练习

Ⅳ。课时小结

本节课进一步探究了函数y=3x2与y=3(x-1)2，y=3(x-1)2+2的图象有什么关系，对称轴和顶点坐标分别是什么这些问题。并作了归纳总结。还能利用这个结果对其他的函数图象进行讨论。

Ⅴ。课后作业

习题2.4

Ⅵ。活动与探究

二次函数y= (x+2)2-1与y= (x-1)2+2的图象是由函数y= x2的图象怎样移动得到的？它们之间是通过怎样移动得到的？

解：y= (x+2)2-1的图象是由y= x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的，y= (x-1)2+2的图象是由y= x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的。

y= (x+2)2-1的图象向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到y= (x-1)2+2的图象。

y= (x-1)2+2的图象向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到y= (x+2)2-1的图象。

板书设计

4.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图象（一) 一、1. 比较函数y=3x2与y=3(x-1）2的

图象和性质（投影片2.4.1 A）

2、做一做（投影片2.4.1 B）

3、总结函数y=3x2，y=3(x-1)2y= 3(x-1)2+2的图象之间的关系（投影片2.4.1 C）

4、议一议（投影片2.4.1 D）

二、课堂练习

1、随堂练习

2、补充练习

三、课时小结

四、课后作业

备课资料

参考练习

在同一直角坐标系内作出函数y=- x2,y=- x2-1,y=- (x+1)2-1的图象，并讨论它们的性质与位置关系。

解：图象略

它们都是抛物线，且开口方向都向下；对称轴分别为y轴y轴，直线x=-1;顶点坐标分别为(0，0)，(0，-1)，(-1，-1)。

y=- x2的图象向下移动1个单位得到y=- x2-1 的图象；y=- x2的图象向左移动1个单位，向下移动1个单位，得到y=- (x+1)2-1的图象。

数学《二次函数》优秀教案 篇五

一。学习目标

1、经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。

2、了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

二。知识导学

（一）情景导学

1．一粒石子投入水中（www.chayi5.com），激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是 。

2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？

设长方形的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y平方米，那么变量y与x之间的函数关系式为 。

3．要给边长为x米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y为多少元？

在这个问题中，地板的费用与 有关，为 元，踢脚线的费用与 有关，为 元；其他费用固定不变为 元，所以总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是 。

（二）归纳提高。

上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？

一般地，我们称 表示的函数为二次函数。其中 是自变量， 函数。

一般地，二次函数 中自变量x的取值范围是 ，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？

（三）典例分析

例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c的值。

（1） y＝1— (2)y＝x(x－5) (3)y＝ － x＋1 (4) y＝3x(2－x)＋ 3x2

(5)y＝ (6) y＝ (7)y＝ x4＋2x2－1 (8)y＝ax2＋bx＋c

例2．当k为何值时，函数 为二次函数？

例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

⑴正方体的表面积S（cm2）与棱长a（cm）之间的函数关系；

⑵圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

⑷菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

三。巩固拓展

1、已知函数 是二次函数，求m的值。

2、 已知二次函数 ，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

3、一个长方形的长是宽的1.6倍，写出这个长方形的面积S与宽x之间函数关系式。

4、一个圆柱的高与底面直径相等，试写出它的表面积S与底面半径r之间的函数关系式

5、用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的'半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

6、 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m．

⑴求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；

⑵求当上部半圆半径为2 m时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1 m2）

课堂练习:

1、判断下列函数是否是二次函数，若是，请指出它的二次项系数、一次项系数、常数项。

（1）y=2-3x2; (2)y=x2+2x3; (3)y= ； (4)y= 。

2、写出多项式的对角线的条数d与边数n之间的函数关系式。

3、某产品年产量为30台，计划今后每年比上一年的产量增长x%，试写出两年后的产量y（台）与x的函数关系式。

4、圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积v(cm3)与底面周长C(cm)之间的函数关系式。

课外作业：

A级：

1、下列函数：（1）y=3x2+ +1;(2)y= x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x- ，属于二次函数的

是 （填序号）。

2、函数y=(a-b)x2+ax+b是二次函数的条件为 。

3、下列函数关系中，满足二次函数关系的是( )

A.圆的周长与圆的半径之间的关系； B.在弹性限度内，弹簧的长度与所挂物体质量的关系；

C.圆柱的高一定时，圆柱的体积与底面半径的关系；

D.距离一定时，汽车行驶的速度与时间之间的关系。

4、某超市1月份的营业额为200万元，2、3月份营业额的月平均增长率为x，求第一季度营业额y（万元）与x的函数关系式。

B级：

5、一块直角三角尺的形状与尺寸如图，若圆孔的半径为 ，三角尺的厚度为16，求这块三角尺的体积V与n的函数关系式。

6、某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛20xx头。后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个时，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头。如果养殖场减少x个，求该地区奶牛总数y（头）与x（个）之间的函数关系式。

C级：

7、圆的半径为2cm，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加到y(cm2)。

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当圆的半径分别增加1cm、 时，圆的面积分别增加多少？

（3）当圆的面积为5πcm2时，其半径增加了多少？

8、已知y+2x2=kx(x-3)(k≠2)。

（1）证明y是x的二次函数；

（2）当k=-2时，写出y与x的函数关系式。

次函数教案 篇六

目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

过程：

一、试一试

1、设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格 中，

AB长x(m)123456789

BC长(m)12

面积y(m2)48

2．x的值是否可以任意取？有限定范围吗？

3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想？让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。

对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少？并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．

二、提出问题

某商店将每 件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并 回答：

1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？

2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元？一天总的利润是多 少元？

3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元？一天可销售约多少件商品？

4．x的值是否可以任意取？如果不能任意取，请求出它的范围，

5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

y=－2x2＋20x (0＜x＜10)……………………………(1)

将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：

y =－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)……………………(2)

三、观察；概括

1、教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；

（1）函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个？

（各有1个）

（2）多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式？

（分别是二次多项式 ）

（3）函数关系式(1)和(2)有什么共同特点？

（都是用自变量的二次多项式来表示的）

（4）本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点 ？

让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c (a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．

四、课堂练习

1、（口答）下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y= 5x＋1 (2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2 (4)y=5x4－3x＋1

2．P3练习第1，2题。

五、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实 际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

《二次函数》教案 篇七

目标设计

1、知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。

能力训练要求

1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力， 学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。

情感与价值观要求

1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。

2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

方法设计

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

教学过程

导学提纲

设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富 ，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受 ，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

（一）前情回顾：

1、复习二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的图象、顶点坐标、对称轴和最值

2、（1）求函数y＝x2+ 2x－3的最值。

（2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）

3、抛物线在什么位置取最值？

（二）适当点拨，自主探究

1.在创设情境中发现问题

请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？

2、在解决问题中找出方法

某工厂为了存放材料，需要围一个周长40米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？

（问题设计思路：把前面矩形的周长40厘米改为40米，变成一个实际问题， 目的在于让学生体会其应用价值？?我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理 论依据，这样首先要建立函数模型，合作探究中在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。）

3、在巩固与应用中提高技能

例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃 ，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

（设计思路：例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。）

解：设垂直于墙的边AD=x米，则AB=（32-2x） 米，设矩形面积为y米2，得到：

Y=x（32-2x）= -2x2+32x

［错解］由顶点公式得：

x=8米时，y最大=128米2

而实际上定义域为11≤x ？16，由图象或增减性可知x=11米时， y最大=110米2

（设计思路：例1的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错 解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与 形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。）

（三）总结交流：

（1）同学们经历刚才的探究过程，想想解决此类问题的思路是什么？。

引导学生分析解题循环图：

（2）在探究发现这些判定方法的过程中运用了什么样的数学方法？

（四）掌握应用：

图中窗户边框的 上半部分是由四个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料总长为15米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大（结果精确到0.01m2）？（设计思路：先出示如图图形，然后引伸到课本中的图形，让学生有一个思考递进的空间。）

（五）我来试一试：

如图在Rt△ABC中，点P在斜边AB上移动，PM⊥BC，PN⊥AC，M，N分别为垂足，已知AC=1，AB=2，求：

（1）何时矩形PMCN的面积最大，把最大面积是多少？

（2）当AM平分∠CAB时，矩形PMCN的面积。

（六）智力闯关：

如图，用长20cm的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最 大面积是多少？

作业：课本随堂练习 、习题1，2，3

板书设计

二次函数的应用？?面积最大问题

课后反思

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题。 本节课充分运用导学提纲，教师提前通过一系列问题串的设置，引导学生课前预习，在课堂上通过对一系列问题串的解决与交流， 让学生通过掌握 求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

教材中设计先探索最大利润问题，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。所以在例题的处理中适当的降低了梯度，让学生思维有一个拓展的空间，也有收获快乐 和成就感。在训练的过程中，通过学生的独立思考与小组合作探究相结合，使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高。同时也注重对解题方法与解题 模式的归纳与总结，并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法。

次函数教案 篇八

教学目标：

1、使学生进一步理解二次函数的基本性质；

2、渗透解析几何，数形结合，函数等数学思想。培养学生发现问题解决问题，及逻辑思维的能力。

3、使学生参与教学过程，通过主体的积极思维，体验感悟数学。逐步建立数学的观念，培养学生独立地获取知识的能力。

教学重点：初步理解数形结合的数学思想

教学难点：初步理解数形结合的数学思想

教学用具：微机

教学方法：探究式、小组合作学习

教学过程：

例1、已知：抛物线y=x2－（m2－1）x－2m2－2

⑴求证：无论m取什么实数，抛物线与x轴一定有两个交点

⑵m取什么实数时，两交点间距离最短？是多少？

解：

△ =(m2－1)2＋4(2m2＋2)

=m4－2m2＋1＋8m2＋8

=m4＋6m2＋9

=(m2＋3)2

m2≥0

∴m2＋3＞0

∴△＞0

∴抛物线与x轴有两个交点

问题：为什么说当△＞0时，抛物线y =ax2+bx+c与x轴有两个交点。（能否从数和形两方面说明）

设计意图：在课堂上创设让学生说数学的机会，学会合作学习，以达到①经验共享，在思维的碰撞中共同提高。②学会合作，消除个人中心。③发现自我，提高参与度。④弘扬个体的主体性，形成健康，丰富的个性。

数：点在曲线上，点的坐标满足曲线的方程。反之，曲线方程的每一个实数解对应的点都在曲线上。抛物线与x轴的交点，既在抛物线上，又在x轴上。所以交点的坐标既满足抛物线的解析式，也满足x轴的解析式。设交点坐标为（x，y）

∴

这样交点问题就转化成求这个二元二次方程组的解。代入y =0，消去y，转化成ax2+bx+c=0这个一元二次方程求根问题。根据以前学过的知识，当△＞0时， ax2+bx+c=0有两个不相等的实根。∴y =ax2+bx+c

y =0

有两个不等的实数解

∴抛物线与ｘ轴交于两个不同的点。

形：顶点在ｘ轴上方，且开口向下。或者顶点在ｘ轴下方，且开口向上。

设计意图：渗透解析几何的基本思想

使学生掌握转化思想使学生在解题过程中，感知数学的直观性和形式化这二重性。掌握数形结合，分类讨论的思想方法。逐步学会数学的思维。

转化成代数语言为：

小结：第一种方法，根据解析几何的基本思想。将求曲线的交点问题，转化成求方程组的解的问题。

第二种方法，借助于图象思考问题，比较直观。发现规律后，再用数学的符号语言将其形式化。这既体现了数学中的数形结合的思想方法，也是探索解数学问题的一般方法。

思考：试从数、形两方面说明抛物线与x轴的交点个数与判别 式的符号的关系。

设计意图：数学学习是一个再创造的过程，不能等同于数学知识的汇集，而要让学生经历数学知识的创造过程。使主体积极地参与到学习中去。以数学知识为载体，揭示出蕴涵于其中的数学思想方法，逐步形成数学观念。

⑵m取什么实数时，两交点间距离最短？是多少？

解：设二次函数与x轴的两交点为(x1,0)，(x2,0)

解法㈠ 由⑴可知m为任何实数时， 都有△＞0

解①

∴ x1＋x2=m2－1

x1·x2=－2(m2＋1)

∴│x2－x1│=

=

=

=

=m2＋3

∴当m =0时，两交点最小距离为3

这里两交点间距离是m的函数

设计意图：培养学生的问题意识。在解题过程中，发现问题，并能运用已有的数学知识，将其一般化，形式化，解决问题，体会数学问题解决的一般方法。培养学生独立地获取数学知识的能力。渗透函数思想

问题： 观察本题两交点间距离与判别式的值之间有何异同？具有一般的规律吗？如何说明。

设x1、x2 为ax2+bx+c =0的两根

可以推出：

还可以理解为顶点到x轴距离最短。

设计意图：在对比、分析中，明确概念，揭示知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构。

小结：观察这道题的结论，我们猜测出规律，将其一般化，推导出这个公式，这是学习数学知识的一般方法。

解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根。

思考：一元二次方程与二次函数的关系。

思考：求m取什么实数时，y =x2－（m2－1）x －2 m2－2被直线y =2所截得的线段最短？是多少？

练习：

观察函数 的图象，回答：

（1）y>0时，x的取值范围如何？

（2）y=0时，x取什么值？

（1）y<0时，x的取值范围如何？

小结：数与形是数学中相互依赖的两个方面。图形比较直观，可以启发思路；而数学的严格证明也是必不可少的。直观性和形式化是数学的两重性。

探究活动

探究问题：

欣欣日用品零售商店，从某公司批发部每月按销售合同以批发单价每把8元购进雨伞（数量至少为100把），欣欣商店根据销售记录，这批雨伞以零售单价每把为14元出售时，月销售量为100把，数学教案－二次函数y=ax2+bx+c 的图象，初中数学教案《数学教案－二次函数y=ax2+bx+c 的图象》。如果零售单价每降价0.1元 ， 月销售量就要增加5把。

（1） 欣欣日用品零售商店以零售单价14元出售时，一个月的利润为多少元？

（2） 欣欣日用品零售商店为了扩大销售记录，现实行降价销售，问分别降价0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元时的利润是多少？

（3） 欣欣日用品零售商店实行降价销售后，问降价多少元时利润最大？最大利润为多少元？

（4） 现在该公司的批发部为了再次扩大这种雨伞的销售量，给零售商制定如下优惠措施：如果零售商每月从批发部购进雨伞的数量超过100把，其超过100把的部分每把按原价九五折（即百分之95）付费，但零售价每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店应将这种雨伞的零售单价定为每把多少元出售时，才能使这种雨伞的月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？（销售利润=销售款额—进货款额）

解：（1）（14—8） （元）

（2）638元、728元、748元、792元、792元、750元。

（3）设降价 元时利润最大，最大利润为 元

=

=

=

∴ 当 时， 有最大值

元

（4）设降价 元时利润最大，利润为 元

（其中 ）。

化简，得 。

，

∴ 当 时， 有最大值。

∴ 。

数学教案－二次函数y=ax2+bx+c 的图象

《二次函数》教案 篇九

【知识与技能】

1、会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象。

2、会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性。

3、能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值。

【过程与方法】

1、经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性。

2、在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想。

【情感态度】

进一步体会由特殊到一般的化归思想，形成积极参与数学活动的意识。

【教学重点】

①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质。

【教学难点】

能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象。

一、情境导入，初步认识

请同学们完成下列问题。

1、把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式。

2、写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标。

3、画y=-2x2+6x-1的图象。

4、抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的图象。

5、二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？

【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的转化过程。

二、思考探究，获取新知

探究1 如何画y=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？

学生回答、教师点评：

一般分为三步：

1、先用配方法求出y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标。

2、列表，描点，连线画出对称轴右边的部分图象。

3、利用对称点，画出对称轴左边的部分图象。

探究2 二次函数y=ax2+bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？

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